問
質量\(M_1\)、\(M_2\)の垂直平面上にある半径\(R_1\)、\(R_2\)の2枚の円盤は、その外周に糸がまかれており、図のように接続されている。
最初の円盤は、その中心をとおる摩擦のない水平回転軸が固定されている。2枚目の円盤が自由落下した場合の質量中心の加速度を求める方程式を立てよ。
解法
糸の張力を\(F\)、円盤2の質量中心と円盤1の質量中心の距離を\(x_1\)、円盤の角速度を\(\theta_1, \theta_2\)とする。
\(M_2 \ddot{x}= M_2 g -F\)
\(I_1\ddot{\theta_1} = FR_1\)
\(I_2\ddot{\theta_2} = FR_2\)
ここで、\(I_1 = m_1R_1^2 /2, I_2= m_2R_2^2 /2\)である。
これらを合わせると、
\(\dot{x}=R_1 \dot{\theta_1}+R_2\dot{\theta_2}\)
または、
\(\ddot{x}=R_1 \ddot{\theta_1}+R_2\ddot{\theta_2}\)
以上の4つの関数から未知数\(\ddot{\theta_1}, \ddot{\theta_2}, \ddot{x}, F\)が求まる。
答え
\(\displaystyle =\frac{2g(m_1+m_2)}{2m_2+3m_1}\)
